1-महत्वपूर्ण प्रश्न-
प्रश्न :1. सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लम्बी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 300300 का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)।
हल:
यहाँ, △ BAC△ BAC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें
∠B=900∠B=900
AC = कर्ण
AB = लम्ब
तथा, BC = आधार
यहाँ, ∠BCA=300∠BCA=300
तथा, डोर की लम्बाई, AC = 20 m
अत: खंभे की ऊँचाई, AB = ?
हम जानते हैं कि, sin θ=phsin θ=ph
जहाँ, θθ भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण है, तथा =300=300 है।
hh = कर्ण = 20 m
तथा pp = लम्ब = AB
∴Sin 300=ABAC∴Sin 300=ABAC
⇒12=AB20 m⇒12=AB20 m
क्रॉस गुणन करने पर
⇒2AB=20 m⇒2AB=20 m
⇒AB=20 m2⇒AB=20 m2
⇒AB=10 m⇒AB=10 m
अत: खंभे की ऊँचाई =10 m=10 m उत्तर
प्रश्न : 2. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा गुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 300300 का कोण बनाता है। पेड़ के पाद बिन्दु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 m8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि, AD प्रश्न में दिया गया पेड़ है, जो कि आँधी से टूट कर महीन को C बिन्दु पर टूट कर जमीन को B बिन्दु पर छूता है तथा इसे CB के रूप में दर्शाया गया है।
दिया गया है, टूटे हुए पेड़ के शिखर तथा जमीन के बीच बना हुआ कोण, ∠ABC=300∠ABC=300
तथा पेड़ के टूटे हुए भाग की लम्बाई, CB = 20 \ m है।
यहाँ, ∠A=900∠A=900
अत:, CB = कर्ण (hh)
AC = लम्ब (pp)
तथा AB = आधार (bb) =8 m=8 m
तथा, ∠ABC=300∠ABC=300
अत: पेड़ की ऊँचाई, AD = ?
हम जानते हैं कि, tan θ=pbtan θ=pb
⇒tan 300=p8 m⇒tan 300=p8 m
⇒1√3=p8 m⇒13=p8 m
क्रॉस गुणन करने पर
⇒√3 p=8 m⇒3 p=8 m
∴p=8√3∴p=83
अत:, AC = p=8√3p=83
पुन:, cos θ=bhcos θ=bh
⇒cos 300=8 mh⇒cos 300=8 mh
⇒√32=8 mh⇒32=8 mh
क्रॉस गुणा करने पर
⇒√3 h=8×2 m⇒3 h=8×2 m
⇒√3 h=16 m⇒3 h=16 m
∴h=16 m√3∴h=16 m3
अत:, BC = h = 16 m√316 m3
अब पेड़ की ऊँचाई = AC + CD
=AC+CB=AC+CB
[∵ CD = CB, जैसा कि प्रश्न के अनुसार यह पेड़ का टूटा हुआ भाग है।]
=8 m√3+16 m√3=8 m3+16 m3
=8+16√3 m=8+163 m
=24√3m×√3√3 m=243m×33 m
=24√33 m=2433 m
=8√3 m=83 m
अत: पेड़ की ऊँचाई 8√3 m83 m है। उत्तर
प्रश्न : 3. एक ठेकेदार बच्चों के खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 300300 के कोण पर झुका हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 m3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढ़ाल की फिसलनपट्टी लगाना चहती है, जो भूमि के साथ 600600 का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लम्बाई क्या होनी चाहिए?
हल:
मान लिया कि, ABC 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिये तथा DEF अधिक उम्र के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी है।
△ABC△ABC में
AB = फिसलनपट्टी की ऊँचाई =p=1.5 m=p=1.5 m
∠ABC=300∠ABC=300
अत: CB(h)=?CB(h)=?
हम जानते हैं कि, sin θ=phsin θ=ph
⇒sin 300=1.5 mh⇒sin 300=1.5 mh
⇒12=1.5 mh⇒12=1.5 mh
क्रोस गुणा करने पर
⇒h=1.5 m×2⇒h=1.5 m×2
⇒h=3 m⇒h=3 m
⇒CB=h=3 m⇒CB=h=3 m
अब △DEF△DEF में
DF = लम्ब (pp) =3 m=3 m
∠DEF=300∠DEF=300
अत: EF = कर्ण (hh) =?
हम जानते हैं कि, sin θ=phsin θ=ph
⇒sin 600=3 mh⇒sin 600=3 mh
⇒√32=3 mh⇒32=3 mh
क्रॉस गुणा करने पर
⇒√3 h=3 m×2⇒3 h=3 m×2
⇒√3 h=6 m⇒3 h=6 m
∴h=6 m√3∴h=6 m3
⇒h=6 m√3×√3√3⇒h=6 m3×33
⇒h=6√33 m⇒h=633 m
⇒h=2√3 m⇒h=23 m
⇒EF=h=2√3 m⇒EF=h=23 m
अत: फिसलनपट्टी की लम्बाई 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए =3 m=3 m तथा अधिक उम्र के बच्चों के लिए =2√3 m=23 m है। उत्तर
प्रश्न : 4. भूमि के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद बिन्दु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 300300 है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि प्रश्न मे दिया गया मीनार AC है।
यहाँ, ∠A∠A समकोण है।
अत:, AC = लम्ब (p)
AB = आधार (bb)
तथा CB कर्ण (hh) हुआ।
यहाँ दिया गया है,
AB = bb = 30\ m`
तथा उन्नयन कोण, ∠ABC=300∠ABC=300
अत: AC = pp =?
हम जानते हैं कि, tan θ=pbtan θ=pb
⇒tan 300=p30 m⇒tan 300=p30 m
⇒1√3=p30 m⇒13=p30 m
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
√3 p=30 m3 p=30 m
∴p=30 m√3∴p=30 m3
⇒p=30 m√3×√3√3⇒p=30 m3×33
⇒p=30√33m⇒p=3033m
⇒p=10√3 m⇒p=103 m
अत: मीनार की ऊँचाई =10√3 m=103 m है। उत्तर
प्रश्न : 5. भूमि से 60m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिन्दु से बांध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 600600 है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढ़ील नहीं है, डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लिया कि F एक पतंग है तथा उसकी डोरी EF है।
अत: इस स्थिति में बना हुआ त्रिभुज DEF एक समकोण त्रिभुज है।
यहाँ, ∠D=900∠D=900
अत: DF = लम्ब (pp)
EF = कर्ण (hh)
तथा, DE = आधार (bb)
अब दिया गया है,
DE = पतंग की भूमि से ऊँचाई = कर्ण (pp) = 60m
तथा भूमि के साथ डोरी का झुकाव =∠DEF=600=∠DEF=600
अत: डोरी की लम्बाई (EF) = कर्ण (hh) =?
हम जानते हैं कि, sin θ=phsin θ=ph
⇒sin 600=60 mh⇒sin 600=60 mh
⇒√32=60 mh⇒32=60 mh
क्रॉस गुणा करने पर हम पाते हैं कि
√3 h=2×60 m3 h=2×60 m
∴h=120√3 m∴h=1203 m
⇒h=120√3×√3√3 m⇒h=1203×33 m
⇒h=120√33 m⇒h=12033 m
⇒h=40√3 m⇒h=403 m
अत: पतंग से बंघे डोरी की लम्बाई =40√3 m=403 m है। उत्तर