द्विघात समीकरण
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द्विघात समीकरण

1-द्विघाती सूत्र

यदि एक द्विघाती समीकरण ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 के लिये b2−4ac≥0b2-4ac≥0 हो तो समीकरण के मूल x=−b±√b2−4ac2ax=-b±b2-4ac2a होता है।

किसी द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 के लिये b2−4acb2-4ac को विविक्तकर (Discriminant) कहते हैं।

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द्विघात समीकरण

समीकरण ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 का यदि विविक्तकर (Discriminanat)

b2−4ac>0b2-4ac>0 हो, तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं,

यदि विविक्तकर (Discriminanat), b2−4ac=0b2-4ac=0 हो, तो समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल होते हैं,

यदि विविक्तकर (Discriminanat), b2−4ac<0b2-4ac<0 हो, तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है,

2-द्विघात समीकरण के मूल

द्विघात समीकरण ax² + bc + c = 0 का एक मूल एक संख्या α (वास्तविक या सम्मिश्र) इस प्रकार होता है, कि a²+ba+c=0 हो, तो (x-a), ax² + bx + c का गुणक होता है। द्विघात समीकरण के मूल निम्नलिखित होते हैं:

x=(-b±√(b²-4ac))/2a

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3-मूलों का योग और गुणनफल

माना α और β दो मूल हैं,तो

a=(-b+√(b²-4ac))/2a  और  β=(-b-√(b²-4ac))/2a

मूलों का योग: α + β = (-b)/a

मूलों का गुणनफल: αβ = c/a

4-महत्वपूर्ण प्रश्न-

प्रश्न 1: निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

(a) 2×2−3x+5=02×2-3x+5=0

उत्तर: समीकरण के अनुसार a=2a=2, b=−3b=-3 और c=5c=5
D=b2–4acD=b2–4ac
=(−3)2–4×2×5=(-3)2–4×2×5
=9–40=−31=9–40=-31
यहाँ पर, D<0D<0
इसलिए इस समीकरण का मूल संभव नहीं है।

(b) 3×2−4√3x+4=03×2-43x+4=0

उत्तर: समीकरण के अनुसार a=3a=3, b=−4√3b=-43 और c=4c=4
D=b2–4acD=b2–4ac
=(−4√3)2–4×3×4=(-43)2–4×3×4
=48–48=0=48–48=0
यहाँ पर, D = 0
इसलिए इस समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं।

अब मूल को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
मूल =−b2a=-b2a
=4√36=2√33=436=233

(c) 2×2−6x+3=02×2-6x+3=0

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उत्तर: समीकरण के अनुसार, a=2a=2, b=−6b=-6 और c=3c=3
D=b2–4acD=b2–4ac
=(−6)2–4×2×3=(-6)2–4×2×3
=36–24=12=36–24=12
यहाँ पर, D > 0
इसलिए इस समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न भिन्न होंगे।

अब मूल को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
α=−b+√D2aα=-b+D2a
=6+√124=6+124
=6+2√34=6+234
=3+√32=3+32
β=(−b−√D)2aβ=(-b-D)2a
=6−√124=6-124
=3−√32=3-32

प्रश्न 2: निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।

(a) 2×2+kx+3=02×2+kx+3=0

उत्तर: समीकरण के अनुसार, a=2a=2, b=kb=k और c=3c=3
हम जानते हैं कि समान मूल के लिये D=0D=0
D=b2–4ac=0D=b2–4ac=0
k2–4×2×3=0k2–4×2×3=0
k2–24=0k2–24=0
k2=24k2=24
k=2√6k=26

(b) kx(x–2)+6=0kx(x–2)+6=0

उत्तर: kx(x–2)+6=0kx(x–2)+6=0
या, kx2–2kx+6=0kx2–2kx+6=0
इस समीकरण में a=ka=k, b=−2kb=-2k और c=6c=6
हम जानते हैं कि समान मूल के लिए D=0D=0
इसलिए, b2–4ac=0b2–4ac=0
या, (−2k)2–4× k×6=0(-2k)2–4× k×6=0
या, 4k2–24k=04k2–24k=0
या, k2–6k=0k2–6k=0
या, k2=6kk2=6k
या, k=6k=6

प्रश्न 3: क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दोगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 मी2 हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लीजिए कि चौड़ाई = x, तो लंबाई = 2x
प्रश्न के अनुसार,
2×2=8002×2=800
या, x2=400×2=400
या, x=20x=20
इसलिए, लंबाई = 40 m और चौड़ाई = 20 m

प्रश्न 4: क्या निम्न स्थिति संभव है? यदि है, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।

उत्तर: मान लीजिए कि एक मित्र की आयु = x, तो दूसरे मित्र की आयु =20–x=20–x
चार वर्ष पूर्व, पहले मित्र की आयु =x–4=x–4
चार वर्ष पूर्व, दूसरे मित्र की आयु =16–x=16–x
प्रश्न के अनुसार;
(x–4)(16–x)=48(x–4)(16–x)=48
या, 16x–x2–64+4x=4816x–x2–64+4x=48
या, 20x–x2–64–48=020x–x2–64–48=0
या, 20x–x2–112=020x–x2–112=0
या, x2–20x+112=0x2–20x+112=0

अब मूल के अस्तित्व की जाँच करते हैं;
D=b2–4acD=b2–4ac
=(−20)2–4×112=(-20)2–4×112
=400–448=−48=400–448=-48
यहाँ, D < 0 इसलिए मूल संभव नहीं है। इसलिए दी गई शर्तें संभव नहीं हैं।

प्रश्न 5: क्या परिमाप 80 मी तथा क्षेत्रफल 400 मी2 के एक पार्क को बनाना संभव है? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई)
या, 2(लंबाई + चौड़ाई) = 80 m
या, लंबाई + चौड़ाई = 40 m
यदि लंबाई = x, चौड़ाई = 40 – x
प्रश्न के अनुसार;
x(40–x)=400x(40–x)=400
या, 40x–x2=40040x–x2=400
या, 40x–x2–400=040x–x2–400=0
या, x2–40x+400=0x2–40x+400=0

अब मूल के अस्तित्व की जाँच करते हैं।
D=b–4acD=b–4ac
=(−40)2–4×400=(-40)2–4×400
=1600–1600=0=1600–1600=0
यहाँ, D = 0 इसलिए मूल संभव हैं।
अब मूल को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
मूल =−b2a=402=20=-b2a=402=20 m

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