बहुपद क्या है-

चर, अचर, चर के गुणांक तथा ऋणेतर घातांक के जोड़, घटाव या गुणन की क्रिया वाले बीजगणितीय ब्यंजक को बहुपद (POLYNOMIAL) कहा जाता है।

उदारण:

x2+4x−7×2+4x-7, x3+2x2y−y+1×3+2x2y-y+1, 3x3x, 5, इत्यादि

दूसरी तरफ x−2yx-2y, 1x1x, 2x+12x+1, √xx, इत्यादि बहुपद (POLYNOMIAL) नहीं हैं। क्योंकि एक बहुपद (POLYNOMIAL) में निम्नांकित ब्यंजक नहीं हो सकते हैं, या निम्नांकित ब्यंजक वाले बहुपद (POLYNOMIAL) नहीं कहे जाते हैं:

(i) ऋणात्मक चिन्ह वाले घातांक जैसे कि −2-2, −5-5, आदि

(ii) कोई भी पद जो किसी चर से विभाजित हों, यथा 1x1x

(iii) कोई भी भिन्न वाले घातांक जैसे कि √xx, क्योंकि इसे x12x12 तरह लिखा जाता है।

लेकिन एक बहुपद (POLYNOMIAL) में अचर, चर या घात हो सकते हैं।

उदाहरण

अचर (Constants): 3,2,−2,143,2,-2,14 etc.

चर (Variables): x,yx,z,abcx,yx,z,abc, etc.

घातांक (Exponents): 0,1,2,3,40,1,2,3,4, etc.

1-बहुपद की घात

यदि p(x)p(x) एक बहुपद (POLYNOMIAL) है, तो चर xx, के बहुपद p(x)p(x) में xx की उच्चतम घात (Power) बहुपद की घात (Degree of Polynomial) कहलाती है।

2-रैखिक बहुपद

मान लिया कि 4x+24x+2 कि एक बहुपद है।

इस बहुपद के चर xx का घात एक (1) है। अत: इस बहुपद को एक घात वाला बहुपद या एक घातीय बहुपद या रैखिक बहुपद कहते हैं।

अत: घात 1 के बहुपद को एक घात वाला बहुपद या रैखिक बहुपद (Linear polynomial) कहते हैं।

3-द्विघात बहुपद

मान लिया कि x2+x+2×2+x+2 एक बहुपद (Polynomial) है।

इस बहुपद (Polynomial) में चर (Variable) xx का उच्चतम घात 2 (दो) है। अत: ऐसे बहुपद को द्विघात बहुपद या द्विघाती बहुपद कहते हैं।

अत: घात 2 (दो) के बहुपद को द्विघात बहुपद (QUADRATIC POLYNOMIAL) कहते हैं।

4-त्रिघात बहुपद

घात 3 (तीन) का बहुपद (Polynomial) त्रिघात बहुपद (CUBIC POLYNOMIAL) कहलाता है।

उदाहरण:

x3+2×2−x+1×3+2×2-x+1, 2−x32-x3, √2x2x, इत्यादि

चूँकि इन बहुपदों में चर xx की उच्चतम घात 3 (तीन) है, अत: ये सभी त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) हैं।

त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) का सबसे व्यापक रूप है:

ax3+bx2+cx+dax3+bx2+cx+d जहाँ a,b,c,da,b,c,d वास्तविक संख्याएँ हैं और a≠0a≠0 है।

5-बहुपद का मान

यदि p(x)p(x), xx में कोई बहुपद है और kk कोई वास्तविक संख्या है, p(x)p(x) में xx को kk से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त वास्तविक संख्या p(x)p(x) का x=kx=k पर मान कहलाती है और इसे p(k)p(k) से निरूपित करते हैं।

उदारहण:

मान लिया p(x)=x2−3x−4p(x)=x2-3x-4

इसमें x=2x=2 रखने पर हम पाते हैं कि

p(2)=223×2−4=−6p(2)=223×2-4=-6

यहाँ प्राप्त मान 22, p(x)p(x) का x=2x=2 मान कहलाता है।

6-बहुपद का शून्यक

एक वास्तविक संख्या kk बहुपद p(x)p(x) का शून्यक (zero of a polynomial) कहलाती है, यदि p(k)=0p(k)=0 है।

उदारण:

मान लिया कि एक बहुपद p(x)=x2−3x−4p(x)=x2-3x-4

इस बहुपद में x=−1x=-1 रखने पर हम पाते हैं कि

p(−1)=(−1)2−3(−1)−4p(-1)=(-1)2-3(-1)-4

⇒p(−1)=1+3−4=0⇒p(-1)=1+3-4=0

अब इस बहुपद में x=4x=4 रखने पर हम पाते हैं कि

p(4)=42?(3×4)−4p(4)=42?(3×4)-4

⇒p(4)=16−12−4=0⇒p(4)=16-12-4=0

चूँकि यहाँ p(−1)=0p(-1)=0 तथा p(4)=0p(4)=0

अत: −1-1 और 44 दिये गये बहुपद x2−3x−4×2-3x-4 का शून्यक कहलाती है।

7-रैखिक बहुपद का शून्यक

यदि kk बहुपद p(x)=ax+bp(x)=ax+b का शून्यक है, तब

p(k)=ak+b=0p(k)=ak+b=0

i.e. k=−bak=-ba

अत: दिये गये रैखिक बहुपद (LINEAR POLYNOMIAL) ax+bax+b का शून्यक बराबर −ba-ba है।

व्यापक रूप में, यदि p(x)=ax+bp(x)=ax+b का एक शून्यक kk है, तो p(k)=ak+b=0p(k)=ak+b=0

अर्थात k=−bak=-ba होगा।

अत: रैखिक बहुपद ax+bax+b का शून्यक

अत: रैखिक बहुपद का शून्यक उसके गुणांकों से संबंधित है। ( Thus, zero of a LINEAR POLYNOMIAL is related to its coefficients.)

8-बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

व्यापक रूप में, घात nn के दिए गए बहुपद p(x)p(x) के लिए, y=p(x)y=p(x) का ग्राफ x–x–अक्ष को अधिक से अधिक nn बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है। अत: घात nn के किसी बहुपद के अधिक से अधिक nn शून्यक हो सकते हैं।