वृत्तो से संबंधित क्षेत्रफल-

1-वृत्त-

वृत्त की वक्रीय (curve) सीमा की लंबाई उसका परिमाप (perimeter) होती है, परन्तु वृत्त के परिमाप को हम परिधि कहते हैं।

वृत्त की परिधि का उसके व्यास (diameter) के साथ एक अचर अनुपात (constant ratio) होता है, जिसे हम एक यूनानी अक्षर π (पाई) से दर्शाते हैं।
* परिधि/व्यास = π
* परिधि = व्यास x π
            या
* परिधि = 2r x π     (r वृत्त की त्रिज्या है)
            या
* परिधि = 2πr
● π एक अपरिमेय संख्या (irrational number) है, जिसका दशमलव प्रसार (decimal expansion) अनवसानी अनावृत्ति (non-terminating non recurring) है। फिर भी हम प्रश्नों को हल करने के लिए π का मान 22/7 या 3.14 रखते हैं।
● त्रिज्यखंड (sector) – वृत्त के अभ्यंतर में वह क्षेत्र जो दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरा हो, वृत्त का त्रिज्यखंड होता है।

x

वृत्तखंड (segment of circle) – वृत्त के अभ्यंतर (interior) में वह क्षेत्र जो वृत्त की जीवा (chord) और संगत चाप (arc) से घिरा हो, वृत्त का वृत्तखंड होता है।
● कम क्षेत्रफल वाले त्रिज्यखंड को लघु त्रिज्यखंड (minor sector) और अधिक क्षेत्रफल वाले त्रिज्यखंड को दीर्घ त्रिज्यखंड (major sector) कहते हैं। इसी प्रकार लघु वृत्तखंड (minor segment) और दीर्घ वृत्तखंड (major segment) होते हैं।
● यदि एक त्रिज्यखंड में जीवाओं द्वारा वृत्त के केंद्र पर बने कोण का मान n° है, तो –
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ( area of sector)= n/360 x πr2
● यदि एक त्रिज्यखंड में जीवाओं द्वारा वृत्त के केंद्र पर बने कोण का मान n° है, तो –

2-महत्वपूर्ण प्रश्न-

प्रश्न 1: दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 19 सेमी और 9 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।

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उत्तर: पहले वृत्त की परिधि

=2πr=2π×19=38π cm=2πr=2π×19=38π cm

दूसरे वृत्त की परिधि =18π cm=18π cm

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या, 2πr=56π2πr=56π

या, 2r=562r=56

या, r=28 cmr=28 cm

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प्रश्न के अनुसार, सबसे बड़े वृत्त की परिधि

=38π+18π=56π cm=38π+18π=56π cm

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प्रश्न 2: दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8 सेमी और 6 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के बराबर है।

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उत्तर: पहले वृत्त का क्षेत्रफल =πr2=πr2

=π82=64π sq cm=π82=64π sq cm

दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल =π62=36π sq cm=π62=36π sq cm

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प्रश्न के अनुसार, सबसे बड़े वृत्त का क्षेत्रफल =64π+36π=64π+36π

=100π sq cm=100π sq cm

या, πr2=100ππr2=100π

या, r2=100r2=100

या, r=10 cmr=10 cm

प्रश्न 3: दी गई आकृति एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केंद्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिह्नित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। GOLD अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 सेमी है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 सेमी चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: Gold अंक का क्षेत्रफल =πr2=πr2

=π10.52=110.252=346.5 sq cm=π10.52=110.252=346.5 sq cm

Red अंक का क्षेत्रफल =πr2=πr2

=π212−π10.52=π212-π10.52

=π(212–10.52)=π(212–10.52)

=π(21+10.5)(21–10.5)=π(21+10.5)(21–10.5)

=π×31.5×10.5=1039.5 sq cm=π×31.5×10.5=1039.5 sq cm

Blue अंक का क्षेत्रफल =πr2=πr2

=π(31.52–212)=1732.5 sq cm=π(31.52–212)=1732.5 sq cm

Black अंक का क्षेत्रफल =πr2=πr2

=π(422–31.52)=2425.5 sq cm=π(422–31.52)=2425.5 sq cm

White अंक का क्षेत्रफल =πr2=πr2

=π(52.52–422)=3118.5 sq cm=π(52.52–422)=3118.5 sq cm

प्रश्न 4: किसी कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 सेमी है। यदि यह कार 66 किमी प्रति घंटे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाती है?

उत्तर: 10 मिनट में तय की गई दूरी =6660×10=11 km=6660×10=11 km

परिधि =πd=80π=πd=80π

=227×80 cm=227×80 cm

=227×80×11000×100 km=227×80×11000×100 km

चक्करों की संख्या

=11×1000×100×722×80=11×1000×100×722×80

=4375=4375

प्रश्न 5: यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है, तो उस वृत्त की त्रिज्या है:

1. 2 मात्रक
2. π मात्रक
3. 4 मात्रक
4. 7 मात्रक

उत्तर: (A) 2 मात्रक

व्याख्या:

2πr=πr22πr=πr2
या, πr2πr=2πr2πr=2

या, r=2