संख्या पद्धति
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संख्या पद्धति-

1-परिभाषाएं

प्राकृत संख्याएँ (Natural Numbers): वस्तुओं को गिनने के लिए जिन संख्याओं का प्रयोग किया जाता है, उन्हें गणन संख्याएँ या ‘प्राकृत संख्याएँ’ कहते हैं।
जैसे- 1, 2, 3, 4, 5,6,7, . . . .

✶ पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers): प्राकृत संख्याओं में शून्य को मिलाने पर जो संख्याएँ प्राप्त होती हैं उन्हें ‘पूर्ण संख्याएँ’ कहते हैं।
जैसे- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . .

✶ पूर्णांक संख्याएँ (Integers):प्राकृत संख्याओं में शून्य एवं ऋणात्मक संख्याओं को मिलाने पर जो संख्याएँ प्राप्त होती हैं, उन्हें ‘पूर्णांक संख्याएँ’ कहते हैं।
जैसे- -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . .

✶ सम संख्याएँ (Even Numbers): वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित होती हैं उन्हें ‘सम संख्याएँ’ कहते हैं।
जैसे – 2, 4, 6, 8, . . .

✶ विषम संख्याएँ (Odd Numbers) : वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित नहीं होती हैं उन्हें ‘विषम संख्याएँ ’ कहते हैं।
जैसे- 1, 3, 5, 11, 17, 29, 39 , . . . .

✶ अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers): वे संख्याएँ जो स्वयं और 1 के अलावा अन्य किसी संख्या से विभक्त नहीं होती हैं उन्हें ‘अभाज्य संख्याएँ’ कहते हैं।
जैसे- 2, 3, 7, 11, 13, 17 ……….
नोट -‘1’ न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या

✶ भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers): वे संख्याएँ जो स्वयं और 1 के अलावा अन्य किसी संख्या से पूर्णतः विभक्त हो जाती हैं ,उन्हें ‘भाज्य संख्याएँ ’ कहते हैं।
जैसे- 4, 6, 8, 9, 10, …………

✶ असहभाज्य संख्याएँ (Co-Prime Numbers) : जब दो या दो से अधिक संख्याओं में कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो अथवा जिसका म.स. 1 हो ,वे एक साथ ‘सह-अभाज्य संख्याएँ’ कहलाती हैं।
जैसे- (4,9) , (12,25) ,(8,9,12) ।

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✶ युग्म-अभाज्य संख्याएँ : ऐसी अभाज्य संख्याएँ जिनके बीच का अंतर 2 हो ‘युग्म-अभाज्य संख्याएँ’ कहलाती हैं।
जैसे- 11, 13✶ परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers): वे संख्याएँ जिन्हें pq के रूप में लिखा जा सकता है ,जहाँ p तथा q पूर्णांक हैं एवं q ≠ 0 ‘परिमेय संख्याएँ’ कहलाती हैं ।
जैसे-34,56, 4, 1.77 , 0 , 2.3 ……… ।

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✶ अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers): वे संख्याएँ जिन्हें pq के रूप में नहीं लिखा जा सकता ,जहाँ p तथा q पूर्णांक हैं एवं q ≠ 0 अपरिमेय संख्याएँ’ कहलाती हैं ।
जैसे – √2, √15 , √2 , 5 1/3 , π आदि✶ वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) :सभी परिमेय तथा अपरिमेय संख्याएँ ‘वास्तविक संख्याएँ’ कहलाती हैं।
जैसे – 4 , 6, 2 ,√7, +4 , -2 आदि ।

✶ काल्पनिक संख्याएँ (Imaginary Numbers) : ऋणात्मक संख्यायों का वर्गमूल लेने पर जो संख्याएं बनती हैं , उन्हें काल्पनिक संख्याएं कहते हैं ।
जैसे -√ – 2, √ – 5

2-महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर-

Q.1. यदि दो अंकों की संख्या के अंको का योग 12 हो तथा अंकों को उलटकर बनायी गयी संख्या मूल संख्या से 18 अधिक हो तो संख्या ज्ञात कीजिए ।

(a) 67          (b) 57         (c) 77           (d) 47

हल :- option से हल करने पर

option (b) 57 से

57 के अंक उलटने पर 75 प्राप्त होगा

75 – 57 = 18

option (b) 57 ने प्रश्न की सभी शर्तों को संतुष्ट किया । यही उत्तर है ।

answer – option (b) 57 

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Q.2. दो अंकों की एक संख्या में , इकाई के स्थान पर अंक दहाई के स्थान पर अंक के दुगूना से 1 कम है । यदि इकाई और दहाई के स्थान पर अंकों को आपस में बदल दिया जाए, तो नई और मूल संख्या के बीच अन्तर मूल संख्या से 20 कम है । मूल संख्या ज्ञात कीजिए ।

(a) 47           (b) 59         (c) 23           (d) 35

हल :- option से हल करने पर

option (a) 47 से

47 अंक उलटने पर 74 होगा

74 – 47 = 27

47 – 27 = 20

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अत: option (a) 47 प्रश्न की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है । यही उत्तर है ।

Q.3. तीन अंकों वाली एक संख्या में, सैकड़े के स्थान वाला अंक इकाई के स्थान वाले अंक का दुगुना है और उसके सभी अंकों का योगफल 18 है । यदि उसके अंकों को उलट दिया जाए, तो वह संख्या 396 कम हो जाती है । तदनुसार उस संख्या के सैकड़े वाले अंक और दहाई वाले अंक का अन्तर कितना है ? 

(a) 1              (b) 2             (c) 3            (d) 5

हल :-   \dfrac {18}{3}=6

यहाँ संख्या तीन अंकों की है इसलिए अंकों के योग को 3 से भाग दिया गया है

6 + 2 = 8 (सैकड़े का अंक)

6 – 2 = 4 (इकाई का अंक )

18 – (8 + 4) = 6 (दहाई का अंक)

864 (मूल संख्या)

अब 864 के अंक उलटने पर 468 प्राप्त होगा

864 – 468 = 396

यहाँ मूल संख्या 864 प्रश्न की सभी शर्तों संतुष्ट करती है

सैकड़े व दहाई अंक का अन्तर करने पर

अत: 8 – 6 = 2  (यही उत्तर है)

answer – option (b) 2 

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Q.4. यदि तीन अंकों वाली किसी संख्या में इकाई और दहाई के अंकों को आपस में बदल दिया जाए तो जो नई संख्या आएगी, वह मूल संख्या से 63 अधिक होगी । इस प्रकार यदि मूल संख्या में इकाई का अंक x हो, तो x के तीनों सम्भव मान क्या होंगे ?  

(a) 7, 8, 9,         (b) 2, 7, 9     (c) 0, 1, 2    (d) 1, 2, 8

हल :- option से हल करने पर 

यहाँ आपको सिर्फ इकाई व दहाई अंक से मतलब है

option (a) 7, 8, 9 से

07 के अंक उलटने पर 70 प्राप्त होगा

70 – 63

18 के अंक उलटने पर 81 प्राप्त होगा

81 – 18 = 63

29 के अंक उलटने पर 92 प्राप्त होगा

92 – 29 = 63

यहाँ option (a) 7, 8, 9, प्रश्न की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है । यही उत्तर है ।


Q.5. दो अंकों की किसी संख्या और उन अंकों को आपस में बदल कर बनाई गई संख्या के बीच अन्तर सदा विभाज्य होता है – 

(a) 10 से         (b) 9 से         (c) 11 से      (d) 6 से

हल :- 10 के अंक उलटने पर 01 प्राप्त होगा

10 – 01 = 9

12 के अंक उलटने पर 21 प्राप्त होगा

21 – 12 = 9

13 के अंक उलटने पर 31 प्राप्त होगा

31 – 13 = 18

14 के अंक उलटने पर 41 प्राप्त होगा

41 – 14 = 27

अत: इस प्रकार सिद्ध होता है कि उपरोक्त प्रश्न से प्राप्त अन्तर सदैव 9 से विभाज्य है ।

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