1-परिभाषाएं
प्राकृत संख्याएँ (Natural Numbers): वस्तुओं को गिनने के लिए जिन संख्याओं का प्रयोग किया जाता है, उन्हें गणन संख्याएँ या ‘प्राकृत संख्याएँ’ कहते हैं।
जैसे- 1, 2, 3, 4, 5,6,7, . . . .
✶ पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers): प्राकृत संख्याओं में शून्य को मिलाने पर जो संख्याएँ प्राप्त होती हैं उन्हें ‘पूर्ण संख्याएँ’ कहते हैं।
जैसे- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . .
✶ पूर्णांक संख्याएँ (Integers):प्राकृत संख्याओं में शून्य एवं ऋणात्मक संख्याओं को मिलाने पर जो संख्याएँ प्राप्त होती हैं, उन्हें ‘पूर्णांक संख्याएँ’ कहते हैं।
जैसे- -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . .
✶ सम संख्याएँ (Even Numbers): वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित होती हैं उन्हें ‘सम संख्याएँ’ कहते हैं।
जैसे – 2, 4, 6, 8, . . .
✶ विषम संख्याएँ (Odd Numbers) : वे संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित नहीं होती हैं उन्हें ‘विषम संख्याएँ ’ कहते हैं।
जैसे- 1, 3, 5, 11, 17, 29, 39 , . . . .
✶ अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers): वे संख्याएँ जो स्वयं और 1 के अलावा अन्य किसी संख्या से विभक्त नहीं होती हैं उन्हें ‘अभाज्य संख्याएँ’ कहते हैं।
जैसे- 2, 3, 7, 11, 13, 17 ……….
नोट -‘1’ न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या
✶ भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers): वे संख्याएँ जो स्वयं और 1 के अलावा अन्य किसी संख्या से पूर्णतः विभक्त हो जाती हैं ,उन्हें ‘भाज्य संख्याएँ ’ कहते हैं।
जैसे- 4, 6, 8, 9, 10, …………
✶ असहभाज्य संख्याएँ (Co-Prime Numbers) : जब दो या दो से अधिक संख्याओं में कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो अथवा जिसका म.स. 1 हो ,वे एक साथ ‘सह-अभाज्य संख्याएँ’ कहलाती हैं।
जैसे- (4,9) , (12,25) ,(8,9,12) ।
✶ युग्म-अभाज्य संख्याएँ : ऐसी अभाज्य संख्याएँ जिनके बीच का अंतर 2 हो ‘युग्म-अभाज्य संख्याएँ’ कहलाती हैं।
जैसे- 11, 13✶ परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers): वे संख्याएँ जिन्हें pq के रूप में लिखा जा सकता है ,जहाँ p तथा q पूर्णांक हैं एवं q ≠ 0 ‘परिमेय संख्याएँ’ कहलाती हैं ।
जैसे-34,56, 4, 1.77 , 0 , 2.3 ……… ।
✶ अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers): वे संख्याएँ जिन्हें pq के रूप में नहीं लिखा जा सकता ,जहाँ p तथा q पूर्णांक हैं एवं q ≠ 0 अपरिमेय संख्याएँ’ कहलाती हैं ।
जैसे – √2, √15 , √2 , 5 1/3 , π आदि✶ वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) :सभी परिमेय तथा अपरिमेय संख्याएँ ‘वास्तविक संख्याएँ’ कहलाती हैं।
जैसे – 4 , 6, 2 ,√7, +4 , -2 आदि ।
✶ काल्पनिक संख्याएँ (Imaginary Numbers) : ऋणात्मक संख्यायों का वर्गमूल लेने पर जो संख्याएं बनती हैं , उन्हें काल्पनिक संख्याएं कहते हैं ।
जैसे -√ – 2, √ – 5
2-महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर-
Q.1. यदि दो अंकों की संख्या के अंको का योग 12 हो तथा अंकों को उलटकर बनायी गयी संख्या मूल संख्या से 18 अधिक हो तो संख्या ज्ञात कीजिए ।
(a) 67 (b) 57 (c) 77 (d) 47
हल :- option से हल करने पर
option (b) 57 से
57 के अंक उलटने पर 75 प्राप्त होगा
75 – 57 = 18
option (b) 57 ने प्रश्न की सभी शर्तों को संतुष्ट किया । यही उत्तर है ।
answer – option (b) 57
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Q.2. दो अंकों की एक संख्या में , इकाई के स्थान पर अंक दहाई के स्थान पर अंक के दुगूना से 1 कम है । यदि इकाई और दहाई के स्थान पर अंकों को आपस में बदल दिया जाए, तो नई और मूल संख्या के बीच अन्तर मूल संख्या से 20 कम है । मूल संख्या ज्ञात कीजिए ।
(a) 47 (b) 59 (c) 23 (d) 35
हल :- option से हल करने पर
option (a) 47 से
47 अंक उलटने पर 74 होगा
74 – 47 = 27
47 – 27 = 20
अत: option (a) 47 प्रश्न की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है । यही उत्तर है ।
Q.3. तीन अंकों वाली एक संख्या में, सैकड़े के स्थान वाला अंक इकाई के स्थान वाले अंक का दुगुना है और उसके सभी अंकों का योगफल 18 है । यदि उसके अंकों को उलट दिया जाए, तो वह संख्या 396 कम हो जाती है । तदनुसार उस संख्या के सैकड़े वाले अंक और दहाई वाले अंक का अन्तर कितना है ?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 5
हल :- 
यहाँ संख्या तीन अंकों की है इसलिए अंकों के योग को 3 से भाग दिया गया है
6 + 2 = 8 (सैकड़े का अंक)
6 – 2 = 4 (इकाई का अंक )
18 – (8 + 4) = 6 (दहाई का अंक)
864 (मूल संख्या)
अब 864 के अंक उलटने पर 468 प्राप्त होगा
864 – 468 = 396
यहाँ मूल संख्या 864 प्रश्न की सभी शर्तों संतुष्ट करती है
सैकड़े व दहाई अंक का अन्तर करने पर
अत: 8 – 6 = 2 (यही उत्तर है)
answer – option (b) 2
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Q.4. यदि तीन अंकों वाली किसी संख्या में इकाई और दहाई के अंकों को आपस में बदल दिया जाए तो जो नई संख्या आएगी, वह मूल संख्या से 63 अधिक होगी । इस प्रकार यदि मूल संख्या में इकाई का अंक x हो, तो x के तीनों सम्भव मान क्या होंगे ?
(a) 7, 8, 9, (b) 2, 7, 9 (c) 0, 1, 2 (d) 1, 2, 8
हल :- option से हल करने पर
यहाँ आपको सिर्फ इकाई व दहाई अंक से मतलब है
option (a) 7, 8, 9 से
07 के अंक उलटने पर 70 प्राप्त होगा
70 – 63
18 के अंक उलटने पर 81 प्राप्त होगा
81 – 18 = 63
29 के अंक उलटने पर 92 प्राप्त होगा
92 – 29 = 63
यहाँ option (a) 7, 8, 9, प्रश्न की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है । यही उत्तर है ।
Q.5. दो अंकों की किसी संख्या और उन अंकों को आपस में बदल कर बनाई गई संख्या के बीच अन्तर सदा विभाज्य होता है –
(a) 10 से (b) 9 से (c) 11 से (d) 6 से
हल :- 10 के अंक उलटने पर 01 प्राप्त होगा
10 – 01 = 9
12 के अंक उलटने पर 21 प्राप्त होगा
21 – 12 = 9
13 के अंक उलटने पर 31 प्राप्त होगा
31 – 13 = 18
14 के अंक उलटने पर 41 प्राप्त होगा
41 – 14 = 27
अत: इस प्रकार सिद्ध होता है कि उपरोक्त प्रश्न से प्राप्त अन्तर सदैव 9 से विभाज्य है ।