समांतर श्रेणियाँ
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समांतर श्रेणियाँ

1-समांतर श्रेणी किसे कहते है?

यह वे श्रेणियाँ होती है जिसमे लगातार पद होते है और उन पदों में प्रत्येक दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर समान होता है। अर्थात यदि किसी श्रेणी के दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर समान हो तो उसे समान्तर श्रेणी (samantar sreni) कहते है।

5 10 15 20 25 30………………………..n

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अत: उपरोक्त श्रेणी को देखने पर आपको यह समझ आ गया होगा की प्रत्येक दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर 5 है।

NOTE:समान्तर श्रेणी (samantar sreni) में प्रथम पद को a से ,किन्ही दो क्रमागत पदों के बीच के अंतर(सर्वान्तर ) को d से,अंतिम पद को tn से तथा पदों की संख्या को n से प्रदर्शित करते है।

इसे निम्नवत पढ़ते है –

समांतरश्रेणियाँ
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समांतरश्रेणियाँ

प्रथम पद द्वितीय पद तृतीय पद चतुर्थ पद पंचम पद ………………………………n पद

2-महत्वपूर्ण प्रश्न-

प्रश्न 1: क्या A. P.: 11, 8, 5, 2, …. का एक पद -150 है? क्यों?

उत्तर: दिया गया है, a = 11, d = 8 – 11 = – 3, an = – 150, n = ?
हम जानते हैं; an=a+(n–1)dan=a+(n–1)d
या, −150=11+(n–1)(−3)-150=11+(n–1)(-3)
या, (n–1)(−3)=−150–11=−161(n–1)(-3)=-150–11=-161
या, n–1=1613n–1=1613
यह साफ है कि 161 को 3 से विभाजित करने पर पूर्णांक नहीं मिल सकता है। लेकिन किसी भी टर्म की संख्या पूर्णांक में ही होगी। इसलिए, -150 दिये गये AP का टर्म नहीं है।

प्रश्न 2: उस A. P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

उत्तर: दिया गया है, a11 = 38 और a16 = 73
हम जानते हैं; an=a+(n–1)dan=a+(n–1)d
इसलिए, a11=a+10d=38a11=a+10d=38
और, a16=a+15d=73a16=a+15d=73
11वें टर्म को 16वें टर्म से घटाने पर;
a+15d–a–10d=73–38a+15d–a–10d=73–38
या, 5d=355d=35
या, d=7d=7
अब, d के मान को 11वें टर्म में रखने पर;
a+10×7=38a+10×7=38
या, a+70=38a+70=38
या, a=38–70=−32a=38–70=-32
अब, 31वें टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है।
a31=a+30da31=a+30d
=−32+30×7=-32+30×7
=−32+210=178

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समांतरश्रेणियाँ

प्रश्न 3: एक A. P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिया गया है, a3 = 12 और a50 = 106
a3=a+2d=12a3=a+2d=12
a50=a+49d=106a50=a+49d=106
अब, 50वें टर्म से तीसरे टर्म को घटाने पर;
a+49d–a–2d=106–12a+49d–a–2d=106–12
या, 47d=9447d=94
या, d=2d=2
अब, 12वें टर्म में d का मान रखने पर;
a+2×2=12a+2×2=12
या, a+4=12a+4=12
या, a=8a=8
अब, 29वें टर्म को निम्न तरीके से निकाला जा सकता है;
a29=a+28da29=a+28d
=8+28×2=8+28×2
=8+56=64=8+56=64

प्रश्न 4: यदि किसी A. P. के तीसरे पद और नौवें पद क्रमश: 4 और -8 हैं, तो इसका कौन सा पद शून्य होगा?

उत्तर: दिया गया है, a3 = 4 और a9 = – 8
a3=a+2d=4a3=a+2d=4
a9=a+8d=−8a9=a+8d=-8
अब, 9वें टर्म से तीसरे टर्म को घटाने पर;
a+8d–a–2d=−8–4=−12a+8d–a–2d=-8–4=-12
या, 6d=−126d=-12
या, d=−2d=-2
अब, d का मान तीसरे टर्म में रखने पर;
a+2(−2)=4a+2(-2)=4
या, a–4=4a–4=4
या, a=8a=8
अब; 0=a+(n–1)d0=a+(n–1)d
या, 0=8+(n–1)(−2)0=8+(n–1)(-2)
या, (n–1)(−2)=−8(n–1)(-2)=-8
या, n–1=4n–1=4
या, n=5n=5
इसलिए, इस AP का पाँचवा टर्म जीरो है।

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समानता श्रेणी

प्रश्न 5: किसी A. P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस AP के 10वें और 17वें टर्म को निम्न तरीके से लिखा जा सकता है;
a10=a+9da10=a+9d
a17=a+16da17=a+16d
अब, 17वें टर्म से 10वें टर्म को घटाने पर;
a+16d–a–9d=7a+16d–a–9d=7
या, 7d=77d=7
या, d=1

प्रश्न 6: A. P.: 3, 15, 27, 39, … का कौन सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

उत्तर: दिया गया है, a = 3, d = 15 – 3 = 12
54वें टर्म को इस तरह से लिखा जा सकता है;
a54=a+53da54=a+53d
=3+53×12=3+53×12
=3+636=639=3+636=639
इसलिए, अभीष्ट टर्म =639+132=771=639+132=771
या, 771=a+(n–1)d771=a+(n–1)d
या, 771=3+(n−1)12771=3+(n-1)12
या, (n–1)12=771–3=768(n–1)12=771–3=768
या, n–1=64n–1=64
या, n=65n=65

प्रश्न 7: दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

उत्तर: दोनों AP का सार्व अंतर समान है। इसलिए, दोनों AP के हर संगत टर्म का अंतर 100 होगा।

प्रश्न 8: तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

उत्तर: तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या = 100
जब 100 को 7 से भाग दिया जाता है तो शेष 2 मिलता है।
अब, 7–2=57–2=5
इसलिए; 100+5=105100+5=105 तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या होगी जो 7 से भाज्य होती है।
अब, तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 999
जब 999 को 7 से भाग दिया जाता है तो शेष 5 मिलता है।
अब, 999–5=994999–5=994
यह तीन अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या है तो 7 से भाज्य है।
इसलिए, अब हमारे पास निम्नलिखित जानकारी है;
पहला टर्म (a) = 105,
अंतिम टर्म an=994an=994
सार्व अंतर = 7

हम जानते हैं, an=a+(n–1)dan=a+(n–1)d
या, 994=105+(n–1)7994=105+(n–1)7
या, (n–1)7=994–105=889(n–1)7=994–105=889
या, n–1=127n–1=127
या, n=128n=128
इसलिए, तीन अंकों की 7 से भाज्य संख्याओं का नम्बर = 128

प्रश्न 9: 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

उत्तर: 10 से बड़ी और 4 से भाज्य होने वाली सबसे छोटी संख्या = 12
जब 250 को 4 से विभाजित किया जाता है तो शेष 2 मिलता है।
इसलिए, इस सीरीज में 4 से विभाजित होने वाली सबसे बड़ी संख्या =250–2=248=250–2=248
अब हमारे पास निम्नलिखित जानकारी है;
पहला टर्म (a) = 12,
अंतिम टर्म (n) = 248
सार्व अंतर(d) = 4

हम जानते हैं, an=a+(n−1)dan=a+(n-1)d
या, 248=12+(n–1)4248=12+(n–1)4
या, (n–1)4=248–12=236(n–1)4=248–12=236
या, n–1=59n–1=59
या, n=60n=60
इसलिए, 10 और 250 के बीच 4 से भाज्य संख्याओं का नम्बर = 60

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