1-एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधि
प्रतिस्थापन विधि
मान लिया कि दो चर वाले रैखिक समीकरण के युग्म है:
x+y=11x+y=11 ——-(i)
तथा 3x−2y=33x-2y=3 ——-(ii)
समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि द्वार हल करने के चरणचरण : 1.किसी एक समीकरण को लेकर उसके किसी चर को दूसरे पदों लिखा जाता है। जैसे कि एक चर yy का मान दूसरे चर xx के पदों में।
उदारण : समीकरण (i) से
x+y=11x+y=11
⇒x=11−y⇒x=11-y ———-(iii)
चरण : 2. अब चर xx का मान समीकरण में प्रतिस्थापित कर, समीकरण को एक ही चर yy का बना दिया जाता है। फिर दूसरे चर yy के मान की गणना कर ली जाती है।
उदारण :समीकरण (iii) से xx का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि
3(11−y)− 2y=33(11-y)- 2y=3
⇒33−3y− 2y=3⇒33-3y- 2y=3
⇒33−5y=3⇒33-5y=3
⇒−5y=3− 33⇒-5y=3- 33
⇒−5y=−30⇒-5y=-30
∴y=−30−5=6∴y=-30-5=6
चरण : 3. अब इस दूसरे चर जैसे कि yy का मान समीकरण में रखकर पहले चर जैसे कि xx के मान की गणना कर ली जाती है।
उदाहरण:
yy का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर
x+6=11x+6=11
⇒x=11−6=5⇒x=11-6=5
अत:, x=5x=5 तथा y=6y=6 उत्तर
2-प्रश्नावली 3.3
प्रश्न संख्या: 1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
(i) x+y=14x+y=14; x−y=4x-y=4
हल:
दिया गया है, x+y=14x+y=14 ————(i)
x−y=4x-y=4 ———–(ii)
अब समीकरण (i) x+y=14x+y=14 से
x=14− yx=14- y ———(iii)
अब समीकरण (iii) से xx का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं
(14−y)−y=4(14-y)-y=4
⇒14−y− y=4⇒14-y- y=4
⇒14−2y=4⇒14-2y=4
⇒−2y=4−14=−10⇒-2y=4-14=-10
⇒y=−10−2=5⇒y=-10-2=5
अब yy का मान समीकरण (i) में रखने पर
x+5=14x+5=14
⇒x=14−5=9⇒x=14-5=9
अत:, x=9x=9 तथा y=5y=5
ii) s−t=3s-t=3; s3+t2=6s3+t2=6
हल:
दिया गया है, s−t=3s-t=3 ——–(i)
s3+t2=6s3+t2=6 ———(ii)
अब, s−t=3s-t=3
⇒s=3+t⇒s=3+t ——(iii)
तथा, s3+t2=6s3+t2=6
⇒2s+3t6=6⇒2s+3t6=6
⇒2s+3t=6×6⇒2s+3t=6×6
⇒2s+3t=36⇒2s+3t=36
समीकरण (iii) से ss का मान उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
⇒2(3+t)+3t=36⇒2(3+t)+3t=36
⇒6+2t+3t=36⇒6+2t+3t=36
⇒5t=36−6=30⇒5t=36-6=30
∴t=305=6∴t=305=6
अब t=6t=6 का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं
s− 6=3s- 6=3
⇒s=3+6=9⇒s=3+6=9
अत:, s=9s=9 तथा t=6t=6 उत्तर
(iii) 3x−y=33x-y=3; 9x−3y=99x-3y=9
हल:
दिया गया है, 3x−y=33x-y=3 ————-(i)
9x−3y=99x-3y=9 ———–(ii)
अब, 3x−y=33x-y=3
⇒3x−3=y⇒3x-3=y
⇒y=3x−3⇒y=3x-3 ———-(iii)
समीकरण (iii) से yy का मान समीकरण (ii) में रखने पर
9x− 3(3x−3)=99x- 3(3x-3)=9
⇒9x?9x+9=9⇒9x?9x+9=9
⇒9=9⇒9=9 जो कि सही है।
अब दिये गये रैखिक समीकरण युग्म से
a1=3,b1=−1,c1=−3a1=3,b1=-1,c1=-3
तथा, a2=9,b2=−3,c2=−9a2=9,b2=-3,c2=-9
अत:, a1a2=39=13a1a2=39=13
तथा b1b2=−1−3=13b1b2=-1-3=13
तथा c1c2=−3−9=13c1c2=-3-9=13
यहाँ चूँकि, a1a2=b1b2=c1c2a1a2=b1b2=c1c2
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के अनगिनत हल हो सकते हैं।
अब समीकरण (i) 3x−y=33x-y=3 से
यदि x=0x=0
∴y=−3∴y=-3
तथा, if x=1x=1
⇒3×1− y=3⇒3×1- y=3
⇒−y=33=1⇒-y=33=1
⇒y=−1⇒y=-1
अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के दो संभावित हल x=0,y=−3x=0,y=-3 तथा x=1,y=−1x=1,y=-1 हैं। उत्तर
(iv) 0.2x+0.3y=1.30.2x+0.3y=1.3;
0.4x+0.5y=2.30.4x+0.5y=2.3
हल:
दिया गया है, 0.2x+0.3y=1.30.2x+0.3y=1.3 ———-(i)
0.4x+0.5y=2.30.4x+0.5y=2.3 ———-(ii)
अब समीकरण (i) से
0.2x+0.3y=1.30.2x+0.3y=1.3
⇒0.2x=1.3− 0.3y⇒0.2x=1.3- 0.3y
⇒x=1.3−0.3y0.2⇒x=1.3-0.3y0.2 ———-(iii)
अब xx का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं
0.4×1.3−0.3y0.2+0.5y=2.30.4×1.3-0.3y0.2+0.5y=2.3
⇒0.52− 0.12y0.2+0.5y=2.3⇒0.52- 0.12y0.2+0.5y=2.3
⇒(0.52−0.12y)+0.1y0.2=2.3⇒(0.52-0.12y)+0.1y0.2=2.3
⇒0.52−0.12y+0.1y=2.3×0.2⇒0.52-0.12y+0.1y=2.3×0.2
⇒0.52− 0.02y=0.46⇒0.52- 0.02y=0.46
⇒−0.02y=0.46− 0.52⇒-0.02y=0.46- 0.52
⇒−0.02y=−0.06⇒-0.02y=-0.06
⇒y=0.060.02=3⇒y=0.060.02=3
अब yy का मान समीकरण (i) में रखने पर
0.2x+0.3×3=1.30.2x+0.3×3=1.3
⇒0.2x+0.9=1.3⇒0.2x+0.9=1.3
⇒0.2x=1.3?0.9⇒0.2x=1.3?0.9
⇒x=0.40.2⇒x=0.40.2
⇒x=2⇒x=2
अत:, x=2x=2 तथा y=3y=3 उत्तर
(v) √2x+√3y=02x+3y=0;
√3x−√8y=03x-8y=0
हल:
दिया गया है,
√2x+√3y=02x+3y=0 ——— (i)
√3x−√8y=03x-8y=0 ———– (ii)
Now, √2x+√3y=02x+3y=0
⇒√2x=−√3y=0⇒2x=-3y=0
=x=−√3y√2=x=-3y2 ———(iii)
अब xx का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम पाते हैं कि
√3×−√3y√2?√8y=03×-3y2?8y=0
⇒−3y√2?√8y=0⇒-3y2?8y=0
⇒−3y− √2×√8y√2=0⇒-3y- 2×8y2=0
⇒−3y− √16y=0⇒-3y- 16y=0
⇒y(−3−4)=0⇒y(-3-4)=0
⇒y=0−1=0⇒y=0-1=0
अब yy का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि
√2x− √3×0=02x- 3×0=0
⇒√2x− 0=0⇒2x- 0=0
⇒x=0⇒x=0
अत:, x=0x=0 तथा y=0y=0 उत्तर
(vi) 3×2− 5y3=−23×2- 5y3=-2;
x3+y2=136×3+y2=136
हल:
दिया गया है, 3×2− 5y3=−23×2- 5y3=-2 ——-(i)
x3+y2=136×3+y2=136 ————–(ii)
अब समीकरण (i) से
3×2− 5y3=−23×2- 5y3=-2
⇒9x−10y6=−2⇒9x-10y6=-2
⇒9x−10y=−12⇒9x-10y=-12
⇒9x=(−12+10y)⇒9x=(-12+10y)
⇒x=−12+10y9⇒x=-12+10y9 ———–(iii)
अब xx का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर
(−12+10y)/93+y2=136(-12+10y)/93+y2=136
⇒−12+10y27+y2=136⇒-12+10y27+y2=136
⇒2×(−12+10y)+27y54=136⇒2×(-12+10y)+27y54=136
⇒−24+20y+27y=13×5496⇒-24+20y+27y=13×5496
⇒−24+47y=117⇒-24+47y=117
⇒47y=117+24=141⇒47y=117+24=141
⇒y=14147=3⇒y=14147=3
अब yy का मान समीकरण (ii) में रखने पर
x3+32=136×3+32=136
⇒2x+96=136⇒2x+96=136
⇒2x+9=13×66⇒2x+9=13×66
⇒2x+9=13⇒2x+9=13
⇒2x=13−9=4⇒2x=13-9=4
∴x=42=2∴x=42=2
अत:, x=2x=2 तथा y=3y=3
